Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 - x}{4}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3 - x}{4}$ в виде уравнения.

$y = \frac{3 - x}{4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3 - y}{4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 - y}{4} = x$ .

$\frac{3 - y}{4} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $4$ .

$\frac{3 - y}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим $\frac{3 - y}{4} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - y}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Этап 3.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 - y = x \cdot 4$

Этап 3.3.1.1.2

Изменим порядок $3$ и $- y$ .

$- y + 3 = x \cdot 4$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- y + 3 = 4 x$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- y = 4 x - 3$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- y = 4 x - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- y = 4 x - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{4 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{4 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4 x}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (4 x)$ в виде $- (4 x)$ .

$y = - (4 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = - 4 x + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.4

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$y = - 4 x + 3$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - 4 x + 3$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - 4 x + 3$ обратной к $f (x) = \frac{3 - x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3 - x}{4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 4 \frac{3 - x}{4} + 3$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = 4 (- 1) (\frac{3 - x}{4}) + 3$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = 4 \cdot (- 1 \frac{3 - x}{4}) + 3$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 1 (3 - x) + 3$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 1 \cdot 3 - 1 (- x) + 3$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 3 - 1 (- x) + 3$

Этап 5.2.3.4

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 3 + 1 x + 3$

Этап 5.2.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 3 + x + 3$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $- 3 + x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- 4 x + 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{3 - (- 4 x + 3)}{4}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 4 x + 3) = \frac{3 - (- 4 x) - 1 \cdot 3}{4}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{3 + 4 x - 1 \cdot 3}{4}$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{3 + 4 x - 3}{4}$

Этап 5.3.3.4

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{4 x + 0}{4}$

Этап 5.3.3.5

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 4 x + 3) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (- 4 x + 3) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - 4 x + 3$ — обратная к $f (x) = \frac{3 - x}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 x + 3$