Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{6 y}{3 y - 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $3 y - 5$ .

$(3 y - 5) (x) = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y x - 5 x = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3 y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 y x - 5 x = \frac{6 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y x - 5 x = 6 y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $6 y$ из обеих частей уравнения.

$3 y x - 5 x - 6 y = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $5 x$ к обеим частям уравнения.

$3 y x - 6 y = 5 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $3 y$ из $3 y x - 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $3 y$ из $3 y x$ .

$3 y (x) - 6 y = 5 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $3 y$ из $- 6 y$ .

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $3 y$ из $3 y (x) + 3 y (- 2)$ .

$3 y (x - 2) = 5 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $3 y (x - 2) = 5 x$ на $3 (x - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $3 y (x - 2) = 5 x$ на $3 (x - 2)$ .

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Этап 3.4.4.2.2

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Этап 3.4.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ обратной к $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{3 x - 5})}{3 ((\frac{6 x}{3 x - 5}) - 2)}$

Этап 5.2.3

Объединим $5$ и $\frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2)}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} + \frac{- 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x - 2 (3 x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (3 x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.4.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.4.5

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (0 + 5)}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.4.6

Добавим $0$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 \cdot 5}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.4.5

Умножим $2$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.5

Умножим $5$ на $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Этап 5.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Объединим $3$ и $\frac{10}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{3 \cdot 10}{3 x - 5}}$

Этап 5.2.6.2

Умножим $3$ на $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{30}{3 x - 5}}$

Этап 5.2.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $30$ из $30 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Этап 5.2.8.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $3 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Этап 5.2.9.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x}{3 (x - 2)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{3 (x - 2)})}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Этап 5.3.3

Объединим $6$ и $\frac{5 x}{3 (x - 2)}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Этап 5.3.4.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Этап 5.3.4.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $- 5$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 5 (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 (x - 2)$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.5

Добавим $0$ и $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Этап 5.3.4.6

Умножим $5$ на $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Этап 5.3.5

Умножим $6$ на $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{30 x}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Этап 5.3.6

Сократим выражение $\frac{30 x}{3 (x - 2)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $30 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Этап 5.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Этап 5.3.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Этап 5.3.8.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.3.9.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ — обратная к $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$