Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2}{x - 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2}{x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2}{y - 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{y - 1} = x$ .

$\frac{2}{y - 1} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 1, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y - 1, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 1$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{2}{y - 1} = x$ умножим на $y - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{y - 1} = x$ на $y - 1$ .

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = x (y - 1)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = x y + x \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 = x y - 1 \cdot x$

Этап 3.3.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 = x y - x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x y - x = 2$ .

$x y - x = 2$

Этап 3.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x y = 2 + x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $x y = 2 + x$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $x y = 2 + x$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{2}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 3.4.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{x} + 1$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{x} + 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2}{x} + 1$ обратной к $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2}{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2}{x} + 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2}{x} + 1) = \frac{2}{(\frac{2}{x} + 1) - 1}$

Этап 5.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{2}{x} + 1) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 0}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\frac{2}{x}$ и $0$ .

$f (\frac{2}{x} + 1) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2}{x} + 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{x} + 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{x} + 1) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2}{x} + 1$ — обратная к $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{x} + 1$