Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \frac{15 x^{2}}{3 x^{2} + 1}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{15 x^{2}}{3 x^{2} + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Этап 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Этап 2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{3}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Этап 2.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Этап 2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Этап 2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.4.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.4.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, 5)$

Обозначение построения множества:

${y | 0 \leq y < 5}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $[0, 5), {y | 0 \leq y < 5}$

Этап 6