Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$ к $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{4} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 4^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 4$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.1.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.1.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) - 4 x = 0$

Этап 2.1.6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Этап 2.1.6.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Этап 2.1.6.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Этап 2.1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 2 = 2$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Этап 2.1.7.1.1.2

Запишем $- 3$ как $- 1$ плюс $- 2$

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} + (- 1 - 2) x - 2) = 0$

Этап 2.1.7.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 1 x - 2 x - 2) = 0$

Этап 2.1.7.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x^{2} - 1 x) - 2 x - 2) = 0$

Этап 2.1.7.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (x (- x - 1) + 2 (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.7.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 2.1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 2.1.8

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 2.1.8.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.8.3

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1))$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.9

Развернем $(x^{2} + 4) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.10.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.10.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.10.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Этап 2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Этап 2.1.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Этап 2.1.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) - 2 x) = 0$

Этап 2.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1.1

Перенесем $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - 2 x) = 0$

Этап 2.1.14.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x^{2}) - 2 x) = 0$

Этап 2.1.14.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x^{2} - 2 x) = 0$

Этап 2.1.15

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x) = 0$

Этап 2.1.16

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Этап 2.1.17

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1

Перепишем $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) ((x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x - 8) = 0$

Этап 2.1.17.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x^{2} (x - 4) + 2 (x - 4)) = 0$

Этап 2.1.17.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 4$ .

$(x + 2) ((x - 4) (x^{2} + 2)) = 0$

Этап 2.1.17.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 2.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 2.5.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$ верно.

$x = - 2, 4, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 3