Основы мат. анализа Примеры

$6 x^{4} - 11 x^{3} - 51 x^{2} + 99 x - 27$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$- 11 x^{3} + 99 x + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Этап 2

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 11 x^{3} + 99 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 11 x^{3}$ .

$- 11 x (x^{2}) + 99 x + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 11 x$ из $99 x$ .

$- 11 x (x^{2}) - 11 x (- 9) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 11 x (x^{2}) - 11 x (- 9)$ .

$- 11 x (x^{2} - 9) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Этап 3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 11 x (x^{2} - 3^{2}) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- 11 x ((x + 3) (x - 3)) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Этап 5

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{4}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4}) - 51 x^{2} - 27$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 51 x^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 17 x^{2}) - 27$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 17 x^{2}) + 3 (- 9)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x^{4}) + 3 (- 17 x^{2})$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4} - 17 x^{2}) + 3 (- 9)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x^{4} - 17 x^{2}) + 3 (- 9)$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4} - 17 x^{2} - 9)$

Этап 6

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 {(x^{2})}^{2} - 17 x^{2} - 9)$

Этап 7

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} - 17 u - 9)$

Этап 8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 u$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} - 17 (u) - 9)$

Этап 8.1.2

Запишем $- 17$ как $1$ плюс $- 18$

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} + (1 - 18) u - 9)$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} + 1 u - 18 u - 9)$

Этап 8.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} + u - 18 u - 9)$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 u^{2} + u) - 18 u - 9)$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (u (2 u + 1) - 9 (2 u + 1))$

Этап 8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 u + 1) (u - 9))$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) (x^{2} - 9))$

Этап 10

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) (x^{2} - 3^{2}))$

Этап 11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) ((x + 3) (x - 3)))$

Этап 11.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3))$

Этап 11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$

Этап 12

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- 11 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x) + 3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$

Этап 12.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x) + (x + 3) (x - 3) (3 (2 x^{2} + 1))$

Этап 12.3

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (- 11 x) + (x + 3) (x - 3) (3 (2 x^{2} + 1))$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 3 (2 x^{2} + 1))$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 3 (2 x^{2}) + 3 \cdot 1)$

Этап 14

Умножим $2$ на $3$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 6 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Этап 15

Умножим $3$ на $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 6 x^{2} + 3)$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 11 x + 3)$

Этап 17

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot 3 = 18$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 11 (x) + 3)$

Этап 17.1.1.2

Запишем $- 11$ как $- 2$ плюс $- 9$

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} + (- 2 - 9) x + 3)$

Этап 17.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 2 x - 9 x + 3)$

Этап 17.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 3) (x - 3) ((6 x^{2} - 2 x) - 9 x + 3)$

Этап 17.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 3) (x - 3) (2 x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1))$

Этап 17.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((3 x - 1) (2 x - 3))$

Этап 17.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) (3 x - 1) (2 x - 3)$