Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$- 10 x^{3} + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Этап 2

Вынесем множитель $- 10 x$ из $- 10 x^{3} + 40 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 10 x$ из $- 10 x^{3}$ .

$- 10 x (x^{2}) + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 10 x$ из $40 x$ .

$- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 10 x$ из $- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4)$ .

$- 10 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Этап 3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 10 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- 10 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Этап 5

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) - 9 x^{2} - 12$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) + 3 (- 3 x^{2}) - 12$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

Этап 5.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2})$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

Этап 5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2} - 4)$

Этап 6

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4)$

Этап 7

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (u^{2} - 3 u - 4)$

Этап 8

Разложим $u^{2} - 3 u - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((u - 4) (u + 1))$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1))$

Этап 10

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1))$

Этап 11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1))$

Этап 11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Этап 12

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $- 10 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Этап 12.2

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$

Этап 12.3

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + (3) (x^{2} + 1))$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Этап 14

Умножим $3$ на $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3)$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 x + 3)$

Этап 16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 (x) + 3)$

Этап 16.1.1.2

Запишем $- 10$ как $- 1$ плюс $- 9$

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3)$

Этап 16.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3)$

Этап 16.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) (x - 2) ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3)$

Этап 16.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x - 2) (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1))$

Этап 16.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x - 1) (x - 3))$

Этап 16.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 2) (3 x - 1) (x - 3)$