Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Этап 4.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 3 \cdot 9 - 25 \cdot 3 + 75$

Этап 4.1.3

Умножим $- 3$ на $9$ .

$27 - 27 - 25 \cdot 3 + 75$

Этап 4.1.4

Умножим $- 25$ на $3$ .

$27 - 27 - 75 + 75$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $27$ из $27$ .

$0 - 75 + 75$

Этап 4.2.2

Вычтем $75$ из $0$ .

$- 75 + 75$

Этап 4.2.3

Добавим $- 75$ и $75$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75}{x - 3}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 25)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 25)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(- 75)$ под следующим членом делимого $(75)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 0 x - 25$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 25$

Этап 7

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$(x - 3) x^{2} - 5^{2}$

Этап 8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$(x - 3) (x + 5) (x - 5)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 25 x + 75 = 0$

Этап 9.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (x - 3) - 25 (x - 3) = 0$

Этап 9.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

Этап 9.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Этап 9.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

$(x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Этап 9.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 11

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 11.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 12

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 13

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 13.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 3, - 5, 5$

Этап 15