Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(3)}^{3} - 7 {(3)}^{2} + 17 (3) - 15$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 7 {(3)}^{2} + 17 (3) - 15$

Этап 4.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 7 \cdot 9 + 17 (3) - 15$

Этап 4.1.3

Умножим $- 7$ на $9$ .

$27 - 63 + 17 (3) - 15$

Этап 4.1.4

Умножим $17$ на $3$ .

$27 - 63 + 51 - 15$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $63$ из $27$ .

$- 36 + 51 - 15$

Этап 4.2.2

Добавим $- 36$ и $51$ .

$15 - 15$

Этап 4.2.3

Вычтем $15$ из $15$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15}{x - 3}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$
	$1$	$- 4$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(- 12)$ под следующим членом делимого $(17)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$	$5$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(15)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$	$15$
	$1$	$- 4$	$5$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$	$15$
	$1$	$- 4$	$5$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + - 4 x + 5$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 4 x + 5$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Этап 7.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Этап 7.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Этап 7.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Этап 7.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + i$

Этап 7.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Этап 7.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Этап 7.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - i$

Этап 7.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + i, 2 - i$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 3) (x - 2 - i) (x - 2 + i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$ .

$x = 3, 2 + i, 2 - i$

Этап 10