Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} - 9 x + 14$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{3} - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$16 - 4 {(- 2)}^{3} - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Этап 4.1.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$16 - 4 \cdot - 8 - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Этап 4.1.3

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$16 + 32 - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Этап 4.1.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$16 + 32 - 20 \cdot 4 - 9 \cdot - 2 + 14$

Этап 4.1.5

Умножим $- 20$ на $4$ .

$16 + 32 - 80 - 9 \cdot - 2 + 14$

Этап 4.1.6

Умножим $- 9$ на $- 2$ .

$16 + 32 - 80 + 18 + 14$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $16$ и $32$ .

$48 - 80 + 18 + 14$

Этап 4.2.2

Вычтем $80$ из $48$ .

$- 32 + 18 + 14$

Этап 4.2.3

Добавим $- 32$ и $18$ .

$- 14 + 14$

Этап 4.2.4

Добавим $- 14$ и $14$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} - 9 x + 14}{x + 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$
	$1$	$- 6$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 6)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(12)$ под следующим членом делимого $(- 20)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$
	$1$	$- 6$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$
	$1$	$- 6$	$- 8$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 8)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$
	$1$	$- 6$	$- 8$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$
	$1$	$- 6$	$- 8$	$7$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(7)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 14)$ под следующим членом делимого $(14)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$	$- 14$
	$1$	$- 6$	$- 8$	$7$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$	$- 14$
	$1$	$- 6$	$- 8$	$7$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + - 6 x^{2} + (- 8) x + 7$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 7$

Этап 7.1.3

Подставим $7$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $7$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Подставим $7$ в многочлен.

$7^{3} - 6 \cdot 7^{2} - 8 \cdot 7 + 7$

Этап 7.1.3.2

Возведем $7$ в степень $3$ .

$343 - 6 \cdot 7^{2} - 8 \cdot 7 + 7$

Этап 7.1.3.3

Возведем $7$ в степень $2$ .

$343 - 6 \cdot 49 - 8 \cdot 7 + 7$

Этап 7.1.3.4

Умножим $- 6$ на $49$ .

$343 - 294 - 8 \cdot 7 + 7$

Этап 7.1.3.5

Вычтем $294$ из $343$ .

$49 - 8 \cdot 7 + 7$

Этап 7.1.3.6

Умножим $- 8$ на $7$ .

$49 - 56 + 7$

Этап 7.1.3.7

Вычтем $56$ из $49$ .

$- 7 + 7$

Этап 7.1.3.8

Добавим $- 7$ и $7$ .

$0$

Этап 7.1.4

Поскольку $7$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7}{x - 7}$

Этап 7.1.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$ на $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$7$

Этап 7.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$

Этап 7.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			+	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Этап 7.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Этап 7.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 7.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$

Этап 7.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$

Этап 7.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

Этап 7.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - 7 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$

Этап 7.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$

Этап 7.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$

Этап 7.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$

Этап 7.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$
							-	$x$	+	$7$

Этап 7.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 7$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$
							+	$x$	-	$7$

Этап 7.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$
							+	$x$	-	$7$
										$0$

Этап 7.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + x - 1$

Этап 7.1.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$ в виде набора множителей.

$(x - 7) (x^{2} + x - 1) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 7.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 7.4

Приравняем $x^{2} + x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x^{2} + x - 1$ к $0$ .

$x^{2} + x - 1 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $x^{2} + x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.4.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.4.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.4.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Этап 7.4.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{2}$

Этап 7.4.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.4.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.4.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.4.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{2}$

Этап 7.4.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{2}$

Этап 7.4.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x^{2} + x - 1) = 0$ верно.

$x = 7, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 2) (x - 7) (x + \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) (x + \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} - 9 x + 14$ .

$x = - 2, 7, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 2, 7, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 2, 7, 0.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots$

Этап 11