Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 40 x^{2} - 441$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(3)}^{4} + 40 {(3)}^{2} - 441$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 + 40 {(3)}^{2} - 441$

Этап 4.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 + 40 \cdot 9 - 441$

Этап 4.1.3

Умножим $40$ на $9$ .

$81 + 360 - 441$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $81$ и $360$ .

$441 - 441$

Этап 4.2.2

Вычтем $441$ из $441$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 40 x^{2} - 441}{x - 3}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$	$3$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(9)$ под следующим членом делимого $(40)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$49$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(49)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(147)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(147)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(441)$ под следующим членом делимого $(- 441)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (49) x + 147$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 3 x^{2} + 49 x + 147$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 49 x + 147$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 3) + x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

$(x - 3) x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 3$ .

$(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 49)$

Этап 9

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 40 u - 441 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 10

Разложим $u^{2} + 40 u - 441$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 441$ , а сумма — $40$ .

$- 9, 49$

Этап 10.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 9) (u + 49) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 49 = 0$

Этап 12

Приравняем $u - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $u - 9$ к $0$ .

$u - 9 = 0$

Этап 12.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$u = 9$

Этап 13

Приравняем $u + 49$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $u + 49$ к $0$ .

$u + 49 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $49$ из обеих частей уравнения.

$u = - 49$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 9) (u + 49) = 0$ верно.

$u = 9, - 49$

Этап 15

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Этап 16

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 9$

Этап 17

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 17.2

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 17.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 17.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 17.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 17.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 18

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Этап 19

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 49$

Этап 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Этап 19.3

Упростим $\pm \sqrt{- 49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Перепишем $- 49$ в виде $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Этап 19.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (49)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Этап 19.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Этап 19.3.4

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Этап 19.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 7$

Этап 19.3.6

Перенесем $7$ влево от $i$ .

$x = \pm 7 i$

Этап 19.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 7 i$

Этап 19.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 7 i$

Этап 19.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 7 i, - 7 i$

Этап 20

Решением $x^{4} + 40 x^{2} - 441 = 0$ является $x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$ .

$x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$

Этап 21