Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 - 1 \cdot 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Этап 4.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$2 - 1 + 49 \cdot 1 - 25 \cdot 1 - 25$

Этап 4.1.6

Умножим $49$ на $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 \cdot 1 - 25$

Этап 4.1.7

Умножим $- 25$ на $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 - 25$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$1 + 49 - 25 - 25$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ и $49$ .

$50 - 25 - 25$

Этап 4.2.3

Вычтем $25$ из $50$ .

$25 - 25$

Этап 4.2.4

Вычтем $25$ из $25$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$	$1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(49)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$50$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(50)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(50)$ под следующим членом делимого $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(25)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(25)$ под следующим членом делимого $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (50) x + 25$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$2 x^{3} + x^{2} + 50 x + 25$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) + 50 x + 25$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + 25)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} - 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Этап 9.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ , а сумма — $b = 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Вынесем множитель $49$ из $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Этап 9.5.1.2

Запишем $49$ как $- 1$ плюс $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Этап 9.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Этап 9.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Этап 9.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Этап 9.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 9.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Этап 9.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Этап 9.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Этап 9.9.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Этап 9.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Этап 9.9.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Этап 9.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Этап 9.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Этап 9.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Этап 9.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 9.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} + 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} + 25$ к $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} + 25 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 25$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Этап 11.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 25$ в виде $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Этап 11.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (25)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Этап 11.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Этап 11.2.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Этап 11.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 5$

Этап 11.2.3.6

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \pm 5 i$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5 i$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5 i$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5 i, - 5 i$

Этап 12

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 12.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 12.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 12.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 12.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 13

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 13.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Этап 15