Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(1)}^{4} + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 1 + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 1 + 14 \cdot 1 + 16 (1) - 32$

Этап 4.1.4

Умножим $14$ на $1$ .

$1 + 1 + 14 + 16 (1) - 32$

Этап 4.1.5

Умножим $16$ на $1$ .

$1 + 1 + 14 + 16 - 32$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$2 + 14 + 16 - 32$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $14$ .

$16 + 16 - 32$

Этап 4.2.3

Добавим $16$ и $16$ .

$32 - 32$

Этап 4.2.4

Вычтем $32$ из $32$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(14)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$	$16$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(16)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(16)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$	$32$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(32)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(32)$ под следующим членом делимого $(- 32)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 32$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 32$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2}) + 16 x + 32$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) + x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

$(x - 1) x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 16)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$x^{3} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $x$ из $16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 16$ .

$x (x^{2} + 16) + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x^{2} + 16) + u^{2} + 14 u - 32 = 0$

Этап 9.5

Разложим $u^{2} + 14 u - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 32$ , а сумма — $14$ .

$- 2, 16$

Этап 9.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x (x^{2} + 16) + (u - 2) (u + 16) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $x^{2} + 16$ из $x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 16$ из $x (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 16$ из $(x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 16$ из $(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} + 16) (x + x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 16) (u + u^{2} - 2) = 0$

Этап 9.9

Разложим $u + u^{2} - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 9.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} + 16) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

Этап 9.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 9.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} + 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} + 16$ к $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} + 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 16$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Этап 11.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Этап 11.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Этап 11.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Этап 11.2.3.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Этап 11.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 4$

Этап 11.2.3.6

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \pm 4 i$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4 i$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4 i$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4 i, - 4 i$

Этап 12

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 12.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 13

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 4 i, - 4 i, 1, - 2$

Этап 15