Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 4 x^{2}$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$0$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2}$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 0$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 4 \cdot 0$

Этап 4.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $0$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 0$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 4 x^{2}}{x + 0}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (4) x + 0$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 4 x$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + 4 x)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + 4))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} = 0$

Этап 8.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} + 4 u = 0$

Этап 8.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} + 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u + 4 u = 0$

Этап 8.3.2

Вынесем множитель $u$ из $4 u$ .

$u \cdot u + u \cdot 4 = 0$

Этап 8.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot 4$ .

$u (u + 4) = 0$

Этап 8.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} + 4) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 10

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 10.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 10.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 10.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 10.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 11.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 11.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 11.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 11.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 11.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 11.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} + 4) = 0$ верно.

$x = 0, 2 i, - 2 i$

Этап 13