Основы мат. анализа Примеры

$| 6 - 9 x | < 24$

Этап 1

Запишем $| 6 - 9 x | < 24$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$6 - 9 x \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$- 9 x \geq - 6$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 9 x \geq - 6$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 9 x \geq - 6$ на $- 9$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 9 x}{- 9} \leq \frac{- 6}{- 9}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 x}{- 9} \leq \frac{- 6}{- 9}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 6}{- 9}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6$ .

$x \leq \frac{- 3 (2)}{- 9}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 9$ .

$x \leq \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 3}$

Этап 1.2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x \leq \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 3}$

Этап 1.2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x \leq \frac{2}{3}$

Этап 1.3

В части, где $6 - 9 x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$6 - 9 x < 24$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$6 - 9 x < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$- 9 x < - 6$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $- 9 x < - 6$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $- 9 x < - 6$ на $- 9$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 9 x}{- 9} > \frac{- 6}{- 9}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 x}{- 9} > \frac{- 6}{- 9}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 6}{- 9}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6$ .

$x > \frac{- 3 (2)}{- 9}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 9$ .

$x > \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x > \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x > \frac{2}{3}$

Этап 1.6

В части, где $6 - 9 x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (6 - 9 x) < 24$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 6 - 9 x < 24 & x \leq \frac{2}{3} \\ - (6 - 9 x) < 24 & x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (6 - 9 x) < 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 6 - 9 x < 24 & x \leq \frac{2}{3} \\ - 1 \cdot 6 - (- 9 x) < 24 & x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

${\begin{cases} 6 - 9 x < 24 & x \leq \frac{2}{3} \\ - 6 - (- 9 x) < 24 & x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.3

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 6 - 9 x < 24 & x \leq \frac{2}{3} \\ - 6 + 9 x < 24 & x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 2

Решим $6 - 9 x < 24$ , когда $x \leq \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $6 - 9 x < 24$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$- 9 x < 24 - 6$

Этап 2.1.1.2

Вычтем $6$ из $24$ .

$- 9 x < 18$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $- 9 x < 18$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $- 9 x < 18$ на $- 9$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 9 x}{- 9} > \frac{18}{- 9}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 x}{- 9} > \frac{18}{- 9}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{18}{- 9}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Разделим $18$ на $- 9$ .

$x > - 2$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x > - 2$ и $x \leq \frac{2}{3}$ .

$- 2 < x \leq \frac{2}{3}$

Этап 3

Решим $- 6 + 9 x < 24$ , когда $x > \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 6 + 9 x < 24$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Добавим $6$ к обеим частям неравенства.

$9 x < 24 + 6$

Этап 3.1.1.2

Добавим $24$ и $6$ .

$9 x < 30$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $9 x < 30$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $9 x < 30$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} < \frac{30}{9}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} < \frac{30}{9}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{30}{9}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Сократим общий множитель $30$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$x < \frac{3 (10)}{9}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$x < \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 3}$

Этап 3.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x < \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 3}$

Этап 3.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x < \frac{10}{3}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < \frac{10}{3}$ и $x > \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} < x < \frac{10}{3}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- 2 < x < \frac{10}{3}$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 2, \frac{10}{3})$

Этап 6