Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 3 x - 18 > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 3 x - 18 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $3$ .

$- 3, 6$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 6) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 3, - 6$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 3$

$x > 3$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{2} + 3 (- 8) - 18 > 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $22$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 3 (0) - 18 > 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 18$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} + 3 (6) - 18 > 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $36$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 6$ или $x > 3$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 6) \cup (3, \infty)$

Этап 11