Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 100 < 0$

Этап 1

Добавим $100$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} < 100$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{100}$

Этап 3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | < \sqrt{100}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\sqrt{100}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$| x | < \sqrt{10^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | < | 10 |$

Этап 3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $10$ равно $10$ .

$| x | < 10$

Этап 4

Запишем $| x | < 10$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x < 10$

Этап 4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x < 10$

Этап 4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x < 10 & x \geq 0 \\ - x < 10 & x < 0 \end{cases}$

Этап 5

Найдем пересечение $x < 10$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 10$

Этап 6

Решим $- x < 10$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- x < 10$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $- x < 10$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{10}{- 1}$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{10}{- 1}$

Этап 6.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{10}{- 1}$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Разделим $10$ на $- 1$ .

$x > - 10$

Этап 6.2

Найдем пересечение $x > - 10$ и $x < 0$ .

$- 10 < x < 0$

Этап 7

Найдем объединение решений.

$- 10 < x < 10$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 10, 10)$

Этап 9