Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{x + 1} > 6 x$

Этап 1

Вычтем $6 x$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x}{x + 1} - 6 x > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{x + 1} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 6 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} - 6 x \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 6 x$ и $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} + \frac{- 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x - 6 x (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Этап 2.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Этап 2.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x (x + 1)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Этап 2.4.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))$ .

$\frac{x (1 - 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (1 - 6 x - 6 \cdot 1)}{x + 1} > 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{x (1 - 6 x - 6)}{x + 1} > 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $6$ из $1$ .

$\frac{x (- 6 x - 5)}{x + 1} > 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x$ .

$\frac{x (- (6 x) - 5)}{x + 1} > 0$

Этап 2.6

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{x (- (6 x) - 1 (5))}{x + 1} > 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x) - 1 (5)$ .

$\frac{x (- (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (6 x + 5)$ в виде $- 1 (6 x + 5)$ .

$\frac{x (- 1 (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$- x = 0$

$6 x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x = 0$

Этап 5

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$6 x = - 5$

Этап 6

Разделим каждый член $6 x = - 5$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $6 x = - 5$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{6}$

Этап 7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - \frac{5}{6}$

$x = - 1$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, - \frac{5}{6}, - 1$

Этап 10

Найдем область определения $- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 1 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$

$- \frac{5}{6} < x < 0$

$x > 0$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 4}{(- 4) + 1} > 6 (- 4)$

Этап 12.1.3

Левая часть $1.\overline{3}$ больше правой части $- 24$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.92$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 0.92$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 0.92}{(- 0.92) + 1} > 6 (- 0.92)$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 11.5$ не больше правой части $- 5.52$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{6} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{6} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.42$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $- 0.42$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 0.42}{(- 0.42) + 1} > 6 (- 0.42)$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 0.72413793$ больше правой части $- 2.52$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(2) + 1} > 6 (2)$

Этап 12.4.3

Левая часть $0.\overline{6}$ не больше правой части $12$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Ложь

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Ложь

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $- \frac{5}{6} < x < 0$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 1) \cup (- \frac{5}{6}, 0)$

Этап 15