Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 21 > 10 x$

Этап 1

Вычтем $10 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} + 21 - 10 x > 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 21 - 10 x = 0$

Этап 3

Разложим $x^{2} + 21 - 10 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $21$ , а сумма — $- 10$ .

$- 7, - 3$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x - 3) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 7, 3$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 3$

$3 < x < 7$

$x > 7$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 21 > 10 (0)$

Этап 9.1.3

Левая часть $21$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $3 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

${(5)}^{2} + 21 > 10 (5)$

Этап 9.2.3

Левая часть $46$ не больше правой части $50$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

${(10)}^{2} + 21 > 10 (10)$

Этап 9.3.3

Левая часть $121$ больше правой части $100$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 3$ Истина

$3 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

$x < 3$ Истина

$3 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 3$ или $x > 7$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 3) \cup (7, \infty)$

Этап 12