Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + 8 x > 6 x^{2}$

Этап 1

Вычтем $6 x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$x^{3} + 8 x - 6 x^{2} > 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + 8 x - 6 x^{2} = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 8 x - 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 8 x - 6 x^{2} = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 - 6 x^{2} = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 + x (- 6 x) = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 8$ .

$x (x^{2} + 8) + x (- 6 x) = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 8) + x (- 6 x)$ .

$x (x^{2} + 8 - 6 x) = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим $x^{2} + 8 - 6 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Этап 3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 4, 2$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{3} + 8 (- 2) > 6 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 24$ не больше правой части $24$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

${(1)}^{3} + 8 (1) > 6 {(1)}^{2}$

Этап 10.2.3

Левая часть $9$ больше правой части $6$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{3} + 8 (3) > 6 {(3)}^{2}$

Этап 10.3.3

Левая часть $51$ не больше правой части $54$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{3} + 8 (6) > 6 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.3

Левая часть $264$ больше правой части $216$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 2$ или $x > 4$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(0, 2) \cup (4, \infty)$

Этап 13