Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 8 + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$- 16 + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

Этап 4.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 16 + 6 \cdot 4 + 5 (- 2) + 2$

Этап 4.1.4

Умножим $6$ на $4$ .

$- 16 + 24 + 5 (- 2) + 2$

Этап 4.1.5

Умножим $5$ на $- 2$ .

$- 16 + 24 - 10 + 2$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 16$ и $24$ .

$8 - 10 + 2$

Этап 4.2.2

Вычтем $10$ из $8$ .

$- 2 + 2$

Этап 4.2.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2}{x + 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$
	$2$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(5)$ .

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$
	$2$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$
	$2$	$2$	$1$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$	$- 2$
	$2$	$2$	$1$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$	$- 2$
	$2$	$2$	$1$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + 2 x + 1$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Этап 7.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Этап 7.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Этап 7.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Этап 7.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i}{2}$

Этап 7.4.5

Разобьем дробь $\frac{- 1 + i}{2}$ на две дроби.

$x = \frac{- 1}{2} + \frac{i}{2}$

Этап 7.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Этап 7.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Этап 7.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Этап 7.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Этап 7.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i}{2}$

Этап 7.5.5

Разобьем дробь $\frac{- 1 - i}{2}$ на две дроби.

$x = \frac{- 1}{2} + \frac{- i}{2}$

Этап 7.5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

Этап 7.5.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Этап 7.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 2) (x + \frac{1}{2} - \frac{i}{2}) (x + \frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2$ .

$x = - 2, - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Этап 10