Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 \cdot 1 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 11 \cdot 1 - 7 \cdot 1 - 6$

Этап 4.1.4

Умножим $11$ на $1$ .

$2 + 11 - 7 \cdot 1 - 6$

Этап 4.1.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$2 + 11 - 7 - 6$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ и $11$ .

$13 - 7 - 6$

Этап 4.2.2

Вычтем $7$ из $13$ .

$6 - 6$

Этап 4.2.3

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(11)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$	$13$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(13)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(13)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$	$6$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(6)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(- 6)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + 13 x + 6$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ , а сумма — $b = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $13$ из $13 x$ .

$(x - 1) + 2 x^{2} + 13 (x) + 6$

Этап 7.1.2

Запишем $13$ как $1$ плюс $12$

$(x - 1) + 2 x^{2} + (1 + 12) x + 6$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 1) + 2 x^{2} + 1 x + 12 x + 6$

Этап 7.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(x - 1) + 2 x^{2} + x + 12 x + 6$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) (2 x^{2} + x) + 12 x + 6$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) + x (2 x + 1) + 6 (2 x + 1)$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 6)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 6)$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Этап 8.1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 8.1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 8.1.3.3

Умножим $2$ на $- 0.125$ .

$- 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 8.1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$- 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 8.1.3.5

Умножим $11$ на $0.25$ .

$- 0.25 + 2.75 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 8.1.3.6

Добавим $- 0.25$ и $2.75$ .

$2.5 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 8.1.3.7

Умножим $- 7$ на $- 0.5$ .

$2.5 + 3.5 - 6$

Этап 8.1.3.8

Добавим $2.5$ и $3.5$ .

$6 - 6$

Этап 8.1.3.9

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 8.1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{2 x + 1}$

Этап 8.1.5

Разделим $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$7 x$

$6$

Этап 8.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Этап 8.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 8.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 8.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Этап 8.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 8.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 8.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 8.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{2} + 5 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 8.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$

Этап 8.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Этап 8.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Этап 8.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

Этап 8.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

Этап 8.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

Этап 8.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 5 x - 6$

Этап 8.1.6

Запишем $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (x^{2} + 5 x - 6) = 0$

Этап 8.2

Разложим $x^{2} + 5 x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим $x^{2} + 5 x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $5$ .

$- 1, 6$

Этап 8.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(2 x + 1) ((x - 1) (x + 6)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 10

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 11

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 11.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 12

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 1, - 6$

Этап 14