Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.3

Умножим $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.6.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.11

Умножим $- 7 (- \frac{1}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{1}{8} + 7 (\frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.11.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.12

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.12.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.13

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.14

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.15

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.16

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (\frac{1}{4}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.17

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 (- 2) \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.17.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 \cdot - 2 \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.17.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 4.1.18

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Этап 4.1.18.2

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 (7) \frac{- 1}{2} + 8$

Этап 4.1.18.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 \cdot 7 \frac{- 1}{2} + 8$

Этап 4.1.18.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 7 \cdot - 1 + 8$

Этап 4.1.19

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 - 7 + 8$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 - 7 + 8 + \frac{1 + 7}{8}$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ и $7$ .

$- 2 - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 2}{1} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Этап 4.3.4

Запишем $- 7$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} + 8 + \frac{8}{8}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Этап 4.3.7

Запишем $8$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} + \frac{8}{8}$

Этап 4.3.8

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{8}{8}$

Этап 4.3.9

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{8}{8}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \cdot 8 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{- 16 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Этап 4.5.2

Умножим $- 7$ на $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Этап 4.5.3

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 64 + 8}{8}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $56$ из $- 16$ .

$\frac{- 72 + 64 + 8}{8}$

Этап 4.6.2

Добавим $- 72$ и $64$ .

$\frac{- 8 + 8}{8}$

Этап 4.6.3

Добавим $- 8$ и $8$ .

$\frac{0}{8}$

Этап 4.6.4

Разделим $0$ на $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x + \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8}{x + \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$	$- 8$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 8)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(14)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(16)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 8)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{3} + - 8 x^{2} + (- 4) x + 16$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 8 x^{2} - 4 x + 16)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4 x + 16)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8)$

Этап 7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8))$

Этап 8

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8))$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 4$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x - 4) (x^{2} - 2)))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x - 4) (x^{2} - 2))$

Этап 10

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перегруппируем члены.

$- 7 x^{3} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Этап 10.2

Вынесем множитель $- 7 x$ из $- 7 x^{3} + 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $- 7 x$ из $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Этап 10.2.2

Вынесем множитель $- 7 x$ из $14 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Этап 10.2.3

Вынесем множитель $- 7 x$ из $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 2)$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Этап 10.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} - 8 x^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) - 8 x^{2} + 8 = 0$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) + 2 (- 4 x^{2}) + 8 = 0$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Этап 10.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Этап 10.5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Этап 10.6

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Этап 10.6.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Этап 10.6.3

Перепишем многочлен.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 10.6.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 2$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(u - 2)}^{2} = 0$

Этап 10.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Этап 10.8

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $- 7 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Этап 10.8.2

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2)) = 0$

Этап 10.8.3

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 (x^{2} - 2)) = 0$

Этап 10.9

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 10.10

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} - 4) = 0$

Этап 10.11

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Этап 10.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Этап 10.12.1.1.2

Запишем $- 7$ как $1$ плюс $- 8$

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + (1 - 8) x - 4) = 0$

Этап 10.12.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + 1 x - 8 x - 4) = 0$

Этап 10.12.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + x - 8 x - 4) = 0$

Этап 10.12.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} - 2) ((2 x^{2} + x) - 8 x - 4) = 0$

Этап 10.12.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} - 2) (x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1)) = 0$

Этап 10.12.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(x^{2} - 2) ((2 x + 1) (x - 4)) = 0$

Этап 10.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 12

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 12.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 12.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 12.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 12.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 13

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 13.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 13.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 13.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 13.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 13.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 14

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 14.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Десятичная форма:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, - 0.5, 4$

Этап 17