Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm 175, \pm \frac{175}{2}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.3

Умножим $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{2^{4}} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.6.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1}{8}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.11

Умножим $7 (- \frac{1}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{1}{8} - 7 (\frac{1}{8}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.11.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 7}{8} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.13

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.13.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.14

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.15

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.16

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 \frac{1}{2^{2}} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.17

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 (\frac{1}{4}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.18

Объединим $- 87$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} + \frac{- 87}{4} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.20

Умножим $- 395 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.20.1

Умножим $- 1$ на $- 395$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} + 395 (\frac{1}{2}) - 175$

Этап 4.1.20.2

Объединим $395$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} + \frac{395}{2} - 175$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 175 + \frac{1 - 7}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $7$ из $1$ .

$- 175 + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $- 175$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 175}{1} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{- 175}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 175}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{- 175}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{- 87}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{395}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{- 87}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395}{2}$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{395}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.3.7

Умножим $\frac{395}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.8

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.9

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{8} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.10

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{8} + \frac{395 \cdot 4}{8}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 175 \cdot 8 - 6 - 87 \cdot 2 + 395 \cdot 4}{8}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 175$ на $8$ .

$\frac{- 1400 - 6 - 87 \cdot 2 + 395 \cdot 4}{8}$

Этап 4.5.2

Умножим $- 87$ на $2$ .

$\frac{- 1400 - 6 - 174 + 395 \cdot 4}{8}$

Этап 4.5.3

Умножим $395$ на $4$ .

$\frac{- 1400 - 6 - 174 + 1580}{8}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $6$ из $- 1400$ .

$\frac{- 1406 - 174 + 1580}{8}$

Этап 4.6.2

Вычтем $174$ из $- 1406$ .

$\frac{- 1580 + 1580}{8}$

Этап 4.6.3

Добавим $- 1580$ и $1580$ .

$\frac{0}{8}$

Этап 4.6.4

Разделим $0$ на $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x + \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175}{x + \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(7)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$
	$2$	$6$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(6)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 3)$ под следующим членом делимого $(- 87)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$
	$2$	$6$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$
	$2$	$6$	$- 90$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 90)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(45)$ под следующим членом делимого $(- 395)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$
	$2$	$6$	$- 90$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 350)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(175)$ под следующим членом делимого $(- 175)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$	$175$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$	$175$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{3} + 6 x^{2} + (- 90) x - 350$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$2 x^{3} + 6 x^{2} - 90 x - 350$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 6 x^{2} - 90 x - 350$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 90 x - 350)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 90 x - 350)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 90 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 45 x) - 350)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $- 350$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 45 x) + 2 \cdot - 175)$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 45 x) + 2 \cdot - 175)$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 45 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x) + 2 \cdot - 175)$

Этап 7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x) + 2 \cdot - 175$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 175, \pm 87.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 35, \pm 17.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 25, \pm 12.5$

Этап 8.1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$2 {(- 0.5)}^{4} + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Этап 8.1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $4$ .

$2 \cdot 0.0625 + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Этап 8.1.3.3

Умножим $2$ на $0.0625$ .

$0.125 + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Этап 8.1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$0.125 + 7 \cdot - 0.125 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Этап 8.1.3.5

Умножим $7$ на $- 0.125$ .

$0.125 - 0.875 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Этап 8.1.3.6

Вычтем $0.875$ из $0.125$ .

$- 0.75 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Этап 8.1.3.7

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$- 0.75 - 87 \cdot 0.25 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Этап 8.1.3.8

Умножим $- 87$ на $0.25$ .

$- 0.75 - 21.75 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Этап 8.1.3.9

Вычтем $21.75$ из $- 0.75$ .

$- 22.5 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Этап 8.1.3.10

Умножим $- 395$ на $- 0.5$ .

$- 22.5 + 197.5 - 175$

Этап 8.1.3.11

Добавим $- 22.5$ и $197.5$ .

$175 - 175$

Этап 8.1.3.12

Вычтем $175$ из $175$ .

$0$

Этап 8.1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175}{2 x + 1}$

Этап 8.1.5

Разделим $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

Этап 8.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

Этап 8.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 8.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} + x^{3}$ .

				$x^{3}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$

Этап 8.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

Этап 8.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

Этап 8.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

Этап 8.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 8.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{3} + 3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 8.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

Этап 8.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

Этап 8.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 90 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

Этап 8.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							-	$90 x^{2}$	-	$45 x$

Этап 8.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 90 x^{2} - 45 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

Этап 8.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

$350 x$

Этап 8.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

$350 x$

$175$

Этап 8.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 350 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$

Этап 8.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									-	$350 x$	-	$175$

Этап 8.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 350 x - 175$ .

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									+	$350 x$	+	$175$

Этап 8.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									+	$350 x$	+	$175$
												$0$

Этап 8.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$

Этап 8.1.6

Запишем $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175) = 0$

Этап 8.2

Разложим $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

$p = \pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

$q = \pm 1$

Этап 8.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

Этап 8.2.3

Подставим $- 5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Подставим $- 5$ в многочлен.

${(- 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} - 45 \cdot - 5 - 175$

Этап 8.2.3.2

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$- 125 + 3 {(- 5)}^{2} - 45 \cdot - 5 - 175$

Этап 8.2.3.3

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- 125 + 3 \cdot 25 - 45 \cdot - 5 - 175$

Этап 8.2.3.4

Умножим $3$ на $25$ .

$- 125 + 75 - 45 \cdot - 5 - 175$

Этап 8.2.3.5

Добавим $- 125$ и $75$ .

$- 50 - 45 \cdot - 5 - 175$

Этап 8.2.3.6

Умножим $- 45$ на $- 5$ .

$- 50 + 225 - 175$

Этап 8.2.3.7

Добавим $- 50$ и $225$ .

$175 - 175$

Этап 8.2.3.8

Вычтем $175$ из $175$ .

$0$

Этап 8.2.4

Поскольку $- 5$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175}{x + 5}$

Этап 8.2.5

Разделим $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ на $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

$x$

$5$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$175$

Этап 8.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$

Этап 8.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			+	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Этап 8.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Этап 8.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 8.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$

Этап 8.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$

Этап 8.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Этап 8.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 10 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 8.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$

Этап 8.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$

Этап 8.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 35 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$

Этап 8.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							-	$35 x$	-	$175$

Этап 8.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 35 x - 175$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							+	$35 x$	+	$175$

Этап 8.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							+	$35 x$	+	$175$
										$0$

Этап 8.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x - 35$

Этап 8.2.6

Запишем $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) ((x + 5) (x^{2} - 2 x - 35)) = 0$

Этап 8.3

Разложим $x^{2} - 2 x - 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 35$ , а сумма — $- 2$ .

$- 7, 5$

Этап 8.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(2 x + 1) ((x + 5) ((x - 7) (x + 5))) = 0$

Этап 8.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 1) ((x + 5) (x - 7) (x + 5)) = 0$

Этап 8.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$(2 x + 1) ((x + 5) (x + 5) (x - 7)) = 0$

Этап 8.4.1.2

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$(2 x + 1) ((x + 5) (x + 5) (x - 7)) = 0$

Этап 8.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x + 1) ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 7)) = 0$

Этап 8.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(2 x + 1) ({(x + 5)}^{2} (x - 7)) = 0$

Этап 8.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 1) {(x + 5)}^{2} (x - 7) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 10

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 11

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 11.2

Решим ${(x + 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 11.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 12

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 12.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) {(x + 5)}^{2} (x - 7) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, - 5, 7$

Этап 14