Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$3 {(- 2)}^{4} + 8 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$3 \cdot 16 + 8 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Этап 4.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$48 + 8 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Этап 4.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$48 + 8 \cdot - 8 + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Этап 4.1.4

Умножим $8$ на $- 8$ .

$48 - 64 + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Этап 4.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$48 - 64 + 6 \cdot 4 + 3 (- 2) - 2$

Этап 4.1.6

Умножим $6$ на $4$ .

$48 - 64 + 24 + 3 (- 2) - 2$

Этап 4.1.7

Умножим $3$ на $- 2$ .

$48 - 64 + 24 - 6 - 2$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $64$ из $48$ .

$- 16 + 24 - 6 - 2$

Этап 4.2.2

Добавим $- 16$ и $24$ .

$8 - 6 - 2$

Этап 4.2.3

Вычтем $6$ из $8$ .

$2 - 2$

Этап 4.2.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2}{x + 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$

	$3$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$
	$3$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$
	$3$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$
	$3$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$
	$3$	$2$	$2$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$
	$3$	$2$	$2$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$
	$3$	$2$	$2$	$- 1$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 1)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$	$2$
	$3$	$2$	$2$	$- 1$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$	$2$
	$3$	$2$	$2$	$- 1$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$3 x^{3} + 2 x^{2} + (2) x - 1$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим $3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 7.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Этап 7.1.3

Подставим $0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Подставим $0.\overline{3}$ в многочлен.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 7.1.3.2

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 7.1.3.3

Умножим $3$ на $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 7.1.3.4

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 7.1.3.5

Умножим $2$ на $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} + 0.\overline{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 7.1.3.6

Добавим $0.\overline{1}$ и $0.\overline{2}$ .

$0.\overline{3} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 7.1.3.7

Умножим $2$ на $0.\overline{3}$ .

$0.\overline{3} + 0.\overline{6} - 1$

Этап 7.1.3.8

Добавим $0.\overline{3}$ и $0.\overline{6}$ .

$1 - 1$

Этап 7.1.3.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 7.1.4

Поскольку $0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1}{3 x - 1}$

Этап 7.1.5

Разделим $3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$ на $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 7.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$

Этап 7.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 7.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 7.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 7.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 7.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 7.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

Этап 7.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Этап 7.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$

Этап 7.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$

Этап 7.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$

Этап 7.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

Этап 7.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x - 1$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

Этап 7.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

Этап 7.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + x + 1$

Этап 7.1.6

Запишем $3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$ в виде набора множителей.

$(3 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 7.3.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 7.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 7.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 7.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 7.4

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Этап 7.4.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 7.4.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 7.4.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 7.4.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 2) (x - \frac{1}{3}) (x + \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2$ .

$x = - 2, \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 10