Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x - x^{2} - 8$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 4 x - x^{2} - 8$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $4 x - x^{2} - 8 = 0$ .

$4 x - x^{2} - 8 = 0$

Этап 1.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 4$ и $c = - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$

Этап 1.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Этап 1.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Этап 1.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + 2 i$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Этап 1.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - 2 i$

Этап 1.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Этап 1.3

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

точки пересечения с осью x: $Нет$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 4 (0) - {(0)}^{2} - 8$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 (0) - 0^{2} - 8$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 4 (0) - {(0)}^{2} - 8$

Этап 2.2.3

Упростим $4 (0) - {(0)}^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{2} - 8$

Этап 2.2.3.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 0 - 8$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 8$

Этап 2.2.3.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 8$

Этап 2.2.3.2.2

Вычтем $8$ из $0$ .

$y = - 8$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 8)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $Нет$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 8)$

Этап 4