Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 9$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} - 10 x^{2} + 9$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ .

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 1.2.3

Разложим $u^{2} - 10 u + 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $9$ , а сумма — $- 10$ .

$- 9, - 1$

Этап 1.2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $u - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $u - 9$ к $0$ .

$u - 9 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$u = 9$

Этап 1.2.6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 9) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 9, 1$

Этап 1.2.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 1.2.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 9$

Этап 1.2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 1.2.10.2

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.10.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 1.2.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 1.2.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 1.2.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 1.2.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 1.2.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.12.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.12.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.2.13

Решением $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ является $x = 3, - 3, 1, - 1$ .

$x = 3, - 3, 1, - 1$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(3, 0), (- 3, 0), (1, 0), (- 1, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 10 \cdot 0^{2} + 9$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9$

Этап 2.2.4

Упростим ${(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 10 {(0)}^{2} + 9$

Этап 2.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 10 \cdot 0 + 9$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $- 10$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 9$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 9$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$y = 9$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 9)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(3, 0), (- 3, 0), (1, 0), (- 1, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 9)$

Этап 4