Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 5 x^{3} = 25 x^{2} - 125 x$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $25 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 5 x^{3} - 25 x^{2} = - 125 x$

Этап 1.2

Добавим $125 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} - 5 x^{3} - 25 x^{2} + 125 x = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} - 5 x^{3} - 25 x^{2} + 125 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 5 x^{3} - 25 x^{2} + 125 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) - 25 x^{2} + 125 x = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 25 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + x (- 25 x) + 125 x = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $x$ из $125 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + x (- 25 x) + x \cdot 125 = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 5 x^{2}) + x (- 25 x) + x \cdot 125 = 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} - 5 x^{2}) + x (- 25 x)$ .

$x (x^{3} - 5 x^{2} - 25 x) + x \cdot 125 = 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} - 5 x^{2} - 25 x) + x \cdot 125$ .

$x (x^{3} - 5 x^{2} - 25 x + 125) = 0$

Этап 3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((x^{3} - 5 x^{2}) - 25 x + 125) = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x^{2} (x - 5) - 25 (x - 5)) = 0$

Этап 4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 5$ .

$x ((x - 5) (x^{2} - 25)) = 0$

Этап 5

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x ((x - 5) (x^{2} - 5^{2})) = 0$

Этап 6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$x ((x - 5) ((x + 5) (x - 5))) = 0$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x - 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$x ((x - 5) (x - 5) (x + 5)) = 0$

Этап 7.1.2

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$x ((x - 5) (x - 5) (x + 5)) = 0$

Этап 7.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x ({(x - 5)}^{1 + 1} (x + 5)) = 0$

Этап 7.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x ({(x - 5)}^{2} (x + 5)) = 0$

Этап 7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x {(x - 5)}^{2} (x + 5) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 9

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 10

Приравняем ${(x - 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем ${(x - 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 10.2

Решим ${(x - 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 10.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 11

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 11.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $x {(x - 5)}^{2} (x + 5) = 0$ верно.

$x = 0, 5, - 5$