Основы мат. анализа Примеры

$2^{7 - 3 x} = \frac{1}{4}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{4}$ из обеих частей уравнения.

$2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2

Упростим $2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $2^{7 - 3 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2^{7 - 3 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.2

Объединим $2^{7 - 3 x}$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4 - 1}{4} = 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 2^{2} - 1}{4} = 0$

Этап 2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{7 - 3 x + 2} - 1}{4} = 0$

Этап 2.4.3

Добавим $7$ и $2$ .

$\frac{2^{- 3 x + 9} - 1}{4} = 0$

Этап 2.4.4

Перепишем $2^{- 3 x + 9}$ в виде ${(2^{- x + 3})}^{3}$ .

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1}{4} = 0$

Этап 2.4.5

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1^{3}}{4} = 0$

Этап 2.4.6

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 2^{- x + 3}$ и $b = 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) ({(2^{- x + 3})}^{2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Этап 2.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{- x + 3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{(- x + 3) \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Этап 2.4.7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- x \cdot 2 + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Этап 2.4.7.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Этап 2.4.7.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Этап 2.4.7.2

Умножим $2^{- x + 3}$ на $1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1^{2})}{4} = 0$

Этап 2.4.7.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)}{4} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Развернем $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Объединим противоположные члены в $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $2^{- x + 3} \cdot 1$ и $- 1 \cdot 2^{- x + 3}$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.1.2

Вычтем $1 \cdot 2^{- x + 3}$ из $1 \cdot 2^{- x + 3}$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 0 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.1.3

Добавим $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3}$ и $0$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $2^{- x + 3}$ на $2^{- 2 x + 6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{- x + 3 - 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.2.1.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$2^{- 3 x + 3 + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.2.1.3

Добавим $3$ и $6$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $2^{- x + 3}$ на $2^{- x + 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3 - x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.2.2.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 3 + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.2.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.2.3

Перепишем $- 1 \cdot 2^{- 2 x + 6}$ в виде $- 2^{- 2 x + 6}$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 = 0$

Этап 4.1.2.3

Объединим противоположные члены в $2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Вычтем $2^{- 2 x + 6}$ из $2^{- 2 x + 6}$ .

$2^{- 3 x + 9} + 0 - 1 = 0$

Этап 4.1.2.3.2

Добавим $2^{- 3 x + 9}$ и $0$ .

$2^{- 3 x + 9} - 1 = 0$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2^{- 3 x + 9} = 1$

Этап 4.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{- 3 x + 9}) = \ln (1)$

Этап 4.4

Развернем $\ln (2^{- 3 x + 9})$ , вынося $- 3 x + 9$ из логарифма.

$(- 3 x + 9) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 4.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = \ln (1)$

Этап 4.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = 0$

Этап 4.7

Вычтем $9 \ln (2)$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$

Этап 4.8

Разделим каждый член $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ на $- 3 \ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Разделим каждый член $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ на $- 3 \ln (2)$ .

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Этап 4.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Этап 4.8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Этап 4.8.2.2

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Этап 4.8.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Этап 4.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Сократим общий множитель $- 9$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 9 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Этап 4.8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Этап 4.8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Этап 4.8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 4.8.3.2

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 4.8.3.2.2

Разделим $3$ на $1$ .

$x = 3$