Основы мат. анализа Примеры

$5^{2 x} + 5^{x} - 12 = 0$

Этап 1

Перепишем $5^{2 x}$ в виде ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} - 12 = 0$

Этап 2

Пусть $u = 5^{x}$ . Подставим $u$ вместо $5^{x}$ для всех.

$u^{2} + u - 12 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} + u - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 4) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 4) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 4 = 0$

Этап 6

Приравняем $5^{x} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $5^{x} - 3$ к $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

Этап 6.2

Решим $5^{x} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$5^{x} = 3$

Этап 6.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

Этап 6.2.3

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (5) = \ln (3)$

Этап 6.2.4

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (3)$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (3)$ на $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Этап 6.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Этап 6.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Этап 7

Приравняем $5^{x} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $5^{x} + 4$ к $0$ .

$5^{x} + 4 = 0$

Этап 7.2

Решим $5^{x} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$5^{x} = - 4$

Этап 7.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 4)$

Этап 7.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 4)$ не определено.

Неопределенные

Этап 7.2.4

Нет решения для $5^{x} = - 4$

Нет решения

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5^{x} - 3) (5^{x} + 4) = 0$ верно.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$