Основы мат. анализа Примеры

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Вычтем $\frac{\sqrt{3}}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Этап 2

Добавим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - \frac{π}{3}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.1.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $3$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 7.1.4.2

Вычтем $π$ из $3 \cdot π$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Этап 7.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 8

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , для любого целого $n$