Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$

Этап 1

Приравняем $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ к $0$ .

$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + 4 x = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.1.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (u^{2} - 5 u + 4) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим $u^{2} - 5 u + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 2.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((u - 4) (u - 1)) = 0$

Этап 2.1.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.8

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x ((x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Этап 2.1.9.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.1.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.7

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2, - 1, 1$

Этап 3