Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4$

Этап 1

Приравняем $x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4$ к $0$ .

$x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} - x^{3} - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - x^{3} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 2 - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 2 - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 2$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (u^{2} - u - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} - u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((u - 2) (u + 1)) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2) (x^{2} + 1)) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{4}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 10 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) - 4 = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 2) = 0$

Этап 2.1.7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2})$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 (- 2) = 0$

Этап 2.1.7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.8

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.9

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 5 u - 2) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot - 2 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 5 (u) - 2) = 0$

Этап 2.1.10.1.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + (1 + 4) u - 2) = 0$

Этап 2.1.10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 1 u + 4 u - 2) = 0$

Этап 2.1.10.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + u + 4 u - 2) = 0$

Этап 2.1.10.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 u^{2} + u) + 4 u - 2) = 0$

Этап 2.1.10.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (u (- 2 u + 1) - 2 (- 2 u + 1)) = 0$

Этап 2.1.10.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 u + 1$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 u + 1) (u - 2)) = 0$

Этап 2.1.11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)) = 0$

Этап 2.1.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.12

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.12.2

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + (x^{2} - 2) (2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.12.3

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + (x^{2} - 2) (2 (- 2 x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.13

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.14

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{2} - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.14.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{2} - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.14.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.15

Умножим $x$ на $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) = 0$

Этап 2.1.17

Умножим $- 2$ на $2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) = 0$

Этап 2.1.18

Умножим $2$ на $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x - 4 x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.1.19

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 2) (x^{3} - 4 x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.20

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1

Разложим $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.20.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.20.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 1 + 2$

Этап 2.1.20.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 1 + 2$

Этап 2.1.20.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 1 + 2$

Этап 2.1.20.1.3.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 - 4 + 1 + 2$

Этап 2.1.20.1.3.5

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 3 + 1 + 2$

Этап 2.1.20.1.3.6

Добавим $- 3$ и $1$ .

$- 2 + 2$

Этап 2.1.20.1.3.7

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 2.1.20.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 2}{x - 1}$

Этап 2.1.20.1.5

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

Этап 2.1.20.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

Этап 2.1.20.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.20.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.20.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 2.1.20.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Этап 2.1.20.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Этап 2.1.20.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.1.20.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} + 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 2.1.20.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$

Этап 2.1.20.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Этап 2.1.20.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Этап 2.1.20.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Этап 2.1.20.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x + 2$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 2.1.20.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Этап 2.1.20.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 3 x - 2$

Этап 2.1.20.1.6

Запишем $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ в виде набора множителей.

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x^{2} - 3 x - 2)) = 0$

Этап 2.1.20.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 2.3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 2.3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 2.3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 3 x - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Добавим $9$ и $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 2) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 2) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, 3.56155281 \dots, - 0.56155281 \dots$

Этап 4