Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = x^{3} - 7 x^{2} - x + 87$

Этап 1

Приравняем $x^{3} - 7 x^{2} - x + 87$ к $0$ .

$x^{3} - 7 x^{2} - x + 87 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{3} - 7 x^{2} - x + 87$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 87, \pm 3, \pm 29$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 87, \pm 3, \pm 29$

Этап 2.1.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

${(- 3)}^{3} - 7 {(- 3)}^{2} + 3 + 87$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- 27 - 7 {(- 3)}^{2} + 3 + 87$

Этап 2.1.3.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 27 - 7 \cdot 9 + 3 + 87$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 7$ на $9$ .

$- 27 - 63 + 3 + 87$

Этап 2.1.3.5

Вычтем $63$ из $- 27$ .

$- 90 + 3 + 87$

Этап 2.1.3.6

Добавим $- 90$ и $3$ .

$- 87 + 87$

Этап 2.1.3.7

Добавим $- 87$ и $87$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} - x + 87}{x + 3}$

Этап 2.1.5

Разделим $x^{3} - 7 x^{2} - x + 87$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$87$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$
					-	$10 x^{2}$	-	$30 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{2} - 30 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$
					+	$10 x^{2}$	+	$30 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$
					+	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							+	$29 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$
					+	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							+	$29 x$	+	$87$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $29 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$
					+	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							+	$29 x$	+	$87$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$
					+	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							+	$29 x$	+	$87$
							+	$29 x$	+	$87$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $29 x + 87$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$
					+	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							+	$29 x$	+	$87$
							-	$29 x$	-	$87$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$x$	+	$87$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$x$
					+	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							+	$29 x$	+	$87$
							-	$29 x$	-	$87$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 10 x + 29$

Этап 2.1.6

Запишем $x^{3} - 7 x^{2} - x + 87$ в виде набора множителей.

$(x + 3) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 10 x + 29$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 10 x + 29$ к $0$ .

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 10 x + 29 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = 29$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $29$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $116$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 2 i$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 5 + 2 i, 5 - 2 i$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$ верно.

$x = - 3, 5 + 2 i, 5 - 2 i$

Этап 3