Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{4} + 5 x^{3} + 21 x^{2} + 25 x + 5$

Этап 1

Приравняем $4 x^{4} + 5 x^{3} + 21 x^{2} + 25 x + 5$ к $0$ .

$4 x^{4} + 5 x^{3} + 21 x^{2} + 25 x + 5 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$5 x^{3} + 25 x + 4 x^{4} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{3} + 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{3}$ .

$5 x (x^{2}) + 25 x + 4 x^{4} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $5 x$ из $25 x$ .

$5 x (x^{2}) + 5 x (5) + 4 x^{4} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{2}) + 5 x (5)$ .

$5 x (x^{2} + 5) + 4 x^{4} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 5) + 4 {(x^{2})}^{2} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + 21 u + 5 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ , а сумма — $b = 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Вынесем множитель $21$ из $21 u$ .

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + 21 (u) + 5 = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Запишем $21$ как $1$ плюс $20$

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + (1 + 20) u + 5 = 0$

Этап 2.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + 1 u + 20 u + 5 = 0$

Этап 2.1.5.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + u + 20 u + 5 = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + u + 20 u + 5 = 0$

Этап 2.1.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$5 x (x^{2} + 5) + u (4 u + 1) + 5 (4 u + 1) = 0$

Этап 2.1.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u + 1$ .

$5 x (x^{2} + 5) + (4 u + 1) (u + 5) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $5 x (x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $5 x (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (5 x) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $(4 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (5 x) + (x^{2} + 5) (4 x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $(x^{2} + 5) (5 x) + (x^{2} + 5) (4 x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 5) (5 x + 4 x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 5) (5 u + 4 u^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + 5 u + 1) = 0$

Этап 2.1.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + 5 (u) + 1) = 0$

Этап 2.1.9.2.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + (1 + 4) u + 1) = 0$

Этап 2.1.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + 1 u + 4 u + 1) = 0$

Этап 2.1.9.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + u + 4 u + 1) = 0$

Этап 2.1.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 5) ((4 u^{2} + u) + 4 u + 1) = 0$

Этап 2.1.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 5) (u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1)) = 0$

Этап 2.1.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u + 1$ .

$(x^{2} + 5) ((4 u + 1) (u + 1)) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 5) ((4 x + 1) (x + 1)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 5) (4 x + 1) (x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$4 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 5$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 2.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 2.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 2.4

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 5) (4 x + 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, - \frac{1}{4}, - 1$

Этап 3