Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

Этап 1

Разложим $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1$

Этап 1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1$

Этап 1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1$

Этап 1.3.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$1 - 5 + 5 \cdot 1 - 1$

Этап 1.3.5

Вычтем $5$ из $1$ .

$- 4 + 5 \cdot 1 - 1$

Этап 1.3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$- 4 + 5 - 1$

Этап 1.3.7

Добавим $- 4$ и $5$ .

$1 - 1$

Этап 1.3.8

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1}{x - 1}$

Этап 1.5

Разделим $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 1$

Этап 1.6

Запишем $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4

Приравняем $x^{2} - 4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} - 4 x + 1$ к $0$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ верно.

$x = 1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 1, 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$

Этап 7