Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 12}{x - 3}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$12$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x^{2} - 21 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$18 x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$18 x$	-	$12$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$18 x$	-	$12$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	-	$54$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x - 54$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	+	$54$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	+	$54$
									+	$42$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} + 7 x + 18 + \frac{42}{x - 3}$