Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} + 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.6.2

Разделим $x - 2$ на $1$ .

$x - 2 = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x - 2 = \frac{A (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x + 3)$ на $1$ .

$x - 2 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.7.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$x - 2 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x - 2 = A x + 3 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B) (x + 1)$ на $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + (B) (x + 1)$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B \cdot 1$

Этап 1.7.6

Умножим $B$ на $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B$

Этап 1.8

Перенесем $3 A$ .

$x - 2 = A x + B x + 3 A + B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 2 = 3 A + B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A + B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 2 = 3 A + B$ на $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (1 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $- 3 B$ и $B$ .

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 2 = 3 - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $3 - 2 B = - 2$ .

$3 - 2 B = - 2$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 2 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 2 B = - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 2 B = - 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{5}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{5}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{2})$

$B = \frac{5}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 - 5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Вычтем $5$ из $2$ .

$A = \frac{- 3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Этап 3.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{3}{2}, B = \frac{5}{2}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{5}{2}}{x + 3}$