Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 x + 3}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 (x) + 3}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $- 10$ как $- 4$ плюс $- 6$

$\frac{x}{8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x}{8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x}{(8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x}{4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{x}{(2 x - 1) (4 x - 3)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Этап 1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x - 1) (4 x - 3)$ .

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $4 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{A (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (4 x - 3)$ на $1$ .

$x = (A) (4 x - 3) + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A (4 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = 4 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.7.4

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$x = 4 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.7.5

Сократим общий множитель $4 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$x = 4 A x - 3 A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Этап 1.7.5.2

Разделим $(B) (2 x - 1)$ на $1$ .

$x = 4 A x - 3 A + (B) (2 x - 1)$

Этап 1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 4 A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Этап 1.7.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Этап 1.7.8

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Этап 1.7.9

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - B$

Этап 1.8

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $A$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 B x - B$

Этап 1.8.2

Перенесем $B$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 x B - B$

Этап 1.8.3

Перенесем $- 3 A$ .

$x = 4 x A + 2 x B - 3 A - B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 4 A + 2 B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 4 A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $4 A + 2 B = 1$ .

$4 A + 2 B = 1$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$4 A = 1 - 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.1.3

Разделим каждый член $4 A = 1 - 2 B$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разделим каждый член $4 A = 1 - 2 B$ на $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.1.3.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 B$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.1.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 (2)}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.1.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 \cdot 2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.1.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.1.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 3 A - 1 B$ на $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ .

$0 = - 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 3 (\frac{1}{4}) - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{4}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 3 (- \frac{B}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + 3 (\frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.1.3.2

Объединим $3$ и $\frac{B}{2}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.1.5

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $- B$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $- B$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $B$ из $3 B - B \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1.1.1

Вынесем множитель $B$ из $3 B$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.4.1.1.2

Вынесем множитель $B$ из $- B \cdot 2$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.4.1.1.3

Вынесем множитель $B$ из $B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.4.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.4.1.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.2.2.1.4.2

Умножим $B$ на $1$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.3.2

Добавим $\frac{3}{4}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{B}{2} = \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.3.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.3.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.3.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$B = 2 (\frac{3}{2 (2)})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$B = 2 (\frac{3}{2 \cdot 2})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.3.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{3}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $\frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$A = \frac{1}{4} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{1 - 3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$A = \frac{- 2}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.1.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$A = \frac{2 (- 1)}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.1.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.1.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{3}{2}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1} + \frac{\frac{3}{2}}{4 x - 3}$