Основы мат. анализа Примеры

$\frac{7}{x^{2} - 14 x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{7}{x \cdot x - 14 x}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 14 x$ .

$\frac{7}{x \cdot x + x \cdot - 14}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 14$ .

$\frac{7}{x (x - 14)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 14}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x - 14)$ .

$\frac{7 (x (x - 14))}{x (x - 14)} = \frac{A (x (x - 14))}{x} + \frac{(B) (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 (x (x - 14))}{x (x - 14)} = \frac{A (x (x - 14))}{x} + \frac{(B) (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 (x - 14)}{x - 14} = \frac{A (x (x - 14))}{x} + \frac{(B) (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 (x - 14)}{x - 14} = \frac{A (x (x - 14))}{x} + \frac{(B) (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.5.2

Разделим $7$ на $1$ .

$7 = \frac{A (x (x - 14))}{x} + \frac{(B) (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$7 = \frac{A (x (x - 14))}{x} + \frac{(B) (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A (x - 14)$ на $1$ .

$7 = A (x - 14) + \frac{(B) (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 = A x + A \cdot - 14 + \frac{(B) (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.6.3

Перенесем $- 14$ влево от $A$ .

$7 = A x - 14 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$7 = A x - 14 A + \frac{B (x (x - 14))}{x - 14}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$7 = A x - 14 A + (B) (x)$

$7 = A x - 14 A + B x$

Этап 1.7

Перенесем $- 14 A$ .

$7 = A x + B x - 14 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$7 = - 14 A$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$7 = - 14 A$

$0 = A + B$

$7 = - 14 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $7 = - 14 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 14 A = 7$ .

$- 14 A = 7$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 14 A = 7$ на $- 14$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 14 A = 7$ на $- 14$ .

$\frac{- 14 A}{- 14} = \frac{7}{- 14}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 14 A}{- 14} = \frac{7}{- 14}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{7}{- 14}$

$0 = A + B$

$A = \frac{7}{- 14}$

$0 = A + B$

$A = \frac{7}{- 14}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Сократим общий множитель $7$ и $- 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$A = \frac{7 (1)}{- 14}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $7$ из $- 14$ .

$A = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot - 2}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$A = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot - 2}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- \frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $- \frac{1}{2}$ .

$0 = (- \frac{1}{2}) + B$

$A = - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = - \frac{1}{2}$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{2} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{2} + B = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B = 0$

$A = - \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$B = \frac{1}{2} A = - \frac{1}{2}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{2}, A = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 14}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 14}$