Основы мат. анализа Примеры

$\frac{7 x + 116}{{(x - 4)}^{2} (x + 5)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 1.2

$\frac{A}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{B}{x - 4}$

Этап 1.3

$\frac{A}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{B}{x - 4} + \frac{C}{x + 5}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x - 4)}^{2} (x + 5)$ .

$\frac{(7 x + 116) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2} (x + 5)} = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель ${(x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x + 116) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2} (x + 5)} = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(7 x + 116) (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x + 116) (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.6.2

Разделим $7 x + 116$ на $1$ .

$7 x + 116 = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель ${(x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$7 x + 116 = \frac{A {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x + 5)$ на $1$ .

$7 x + 116 = (A) (x + 5) + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 116 = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.3

Перенесем $5$ влево от $A$ .

$7 x + 116 = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель ${(x - 4)}^{2}$ и $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + \frac{(x - 4) (B (x - 4) (x + 5))}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Умножим на $1$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + \frac{(x - 4) (B (x - 4) (x + 5))}{(x - 4) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$7 x + 116 = A x + 5 A + \frac{(x - 4) (B (x - 4) (x + 5))}{(x - 4) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$7 x + 116 = A x + 5 A + \frac{B (x - 4) (x + 5)}{1} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.4.2.4

Разделим $B (x - 4) (x + 5)$ на $1$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B (x - 4) (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 116 = A x + 5 A + (B x + B \cdot - 4) (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.6

Перенесем $- 4$ влево от $B$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + (B x - 4 \cdot B) (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.7

Развернем $(B x - 4 B) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x (x + 5) - 4 B (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 - 4 B (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 - 4 B x - 4 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.1.1

Перенесем $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 5 - 4 B x - 4 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.8.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x \cdot 5 - 4 B x - 4 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.8.1.2

Перенесем $5$ влево от $B x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 \cdot (B x) - 4 B x - 4 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.8.1.3

Умножим $5$ на $- 4$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x - 4 B x - 20 B + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.8.2

Вычтем $4 B x$ из $5 B x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + 1 B x - 20 B + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.9

Умножим $B$ на $1$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.10

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.10.1

Сократим общий множитель.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.7.10.2

Разделим $(C) {(x - 4)}^{2}$ на $1$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + (C) {(x - 4)}^{2}$

Этап 1.7.11

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C ((x - 4) (x - 4))$

Этап 1.7.12

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

Этап 1.7.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

Этап 1.7.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Этап 1.7.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.13.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Этап 1.7.13.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Этап 1.7.13.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

Этап 1.7.13.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x^{2} - 8 x + 16)$

Этап 1.7.14

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} + C (- 8 x) + C \cdot 16$

Этап 1.7.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.15.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} - 8 C x + C \cdot 16$

Этап 1.7.15.2

Перенесем $16$ влево от $C$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} - 8 C x + 16 \cdot C$

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} - 8 C x + 16 C$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} - 8 C x + 16 C$

Этап 1.8.2

Перенесем $- 20 B$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 8 C x - 20 B + 16 C$

Этап 1.8.3

Перенесем $5 A$ .

$7 x + 116 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} - 8 C x + 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 1.8.4

Перенесем $B x$ .

$7 x + 116 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x - 8 C x + 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 1.8.5

Перенесем $A x$ .

$7 x + 116 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x - 8 C x + 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$7 = A + B - 8 C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B + C$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$0 = B + C$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $B$ в $0 = B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $B + C = 0$ .

$B + C = 0$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 3.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = - C$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$B = - C$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $- C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $7 = A + B - 8 C$ на $- C$ .

$7 = A - C - 8 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 3.2.2

Упростим $7 = A - C - 8 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Избавимся от скобок.

$7 = A - C - 8 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$7 = A - C - 8 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вычтем $8 C$ из $- C$ .

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $B$ в $116 = 5 A - 20 B + 16 C$ на $- C$ .

$116 = 5 A - 20 (- C) + 16 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим $5 A - 20 (- C) + 16 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 20$ .

$116 = 5 A + 20 C + 16 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

Этап 3.2.4.1.2

Добавим $20 C$ и $16 C$ .

$116 = 5 A + 36 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A + 36 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A + 36 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A + 36 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

Этап 3.3

Решим относительно $A$ в $7 = A - 9 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A - 9 C = 7$ .

$A - 9 C = 7$

$116 = 5 A + 36 C$

$B = - C$

Этап 3.3.2

Добавим $9 C$ к обеим частям уравнения.

$A = 7 + 9 C$

$116 = 5 A + 36 C$

$B = - C$

$A = 7 + 9 C$

$116 = 5 A + 36 C$

$B = - C$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $A$ на $7 + 9 C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $A$ в $116 = 5 A + 36 C$ на $7 + 9 C$ .

$116 = 5 (7 + 9 C) + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $5 (7 + 9 C) + 36 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$116 = 5 \cdot 7 + 5 (9 C) + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $5$ на $7$ .

$116 = 35 + 5 (9 C) + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $9$ на $5$ .

$116 = 35 + 45 C + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$116 = 35 + 45 C + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $45 C$ и $36 C$ .

$116 = 35 + 81 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$116 = 35 + 81 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$116 = 35 + 81 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$116 = 35 + 81 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.5

Решим относительно $C$ в $116 = 35 + 81 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $35 + 81 C = 116$ .

$35 + 81 C = 116$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $35$ из обеих частей уравнения.

$81 C = 116 - 35$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $35$ из $116$ .

$81 C = 81$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$81 C = 81$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $81 C = 81$ на $81$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $81 C = 81$ на $81$ .

$\frac{81 C}{81} = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81 C}{81} = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $81$ на $81$ .

$C = 1$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $C$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $A = 7 + 9 C$ на $1$ .

$A = 7 + 9 (1)$

$C = 1$

$B = - C$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $7 + 9 (1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $9$ на $1$ .

$A = 7 + 9$

$C = 1$

$B = - C$

Этап 3.6.2.1.2

Добавим $7$ и $9$ .

$A = 16$

$C = 1$

$B = - C$

$A = 16$

$C = 1$

$B = - C$

$A = 16$

$C = 1$

$B = - C$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $C$ в $B = - C$ на $1$ .

$B = - (1)$

$A = 16$

$C = 1$

Этап 3.6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$B = - 1$

$A = 16$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 16$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 16$

$C = 1$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 16, C = 1$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{B}{x - 4} + \frac{C}{x + 5}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{16}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 4} + \frac{1}{x + 5}$