Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ не определено.

$x = 3, x = 8$

Этап 2

Поскольку $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $3$ слева, а $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $3$ справа, то $x = 3$ — вертикальная асимптота.

$x = 3$

Этап 3

Поскольку $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $8$ слева, а $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $8$ справа, то $x = 8$ — вертикальная асимптота.

$x = 8$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = 3, 8$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $x^{2} - 11 x + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $- 11$ .

$- 8, - 3$

Этап 8.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{(x - 8) (x - 3)}$

Этап 8.2

Развернем $(x - 8) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x (x - 3) - 8 (x - 3)}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 8 (x - 3)}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Этап 8.2.4

Изменим порядок $x$ и $- 3$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Этап 8.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Этап 8.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Этап 8.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{1 + 1} - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Этап 8.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Этап 8.2.9

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 3 x - 8 x + 24}$

Этап 8.2.10

Вычтем $8 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$

Этап 8.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

Этап 8.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

Этап 8.5

Умножим новое частное на делитель.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

Этап 8.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} - 55 x^{2} + 120 x$ .

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

Этап 8.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

Этап 8.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

Этап 8.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

Этап 8.10

Умножим новое частное на делитель.

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

Этап 8.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} - 44 x + 96$ .

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

Этап 8.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

$x$

$4$

Этап 8.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$5 x + 4 + \frac{x + 4}{x^{2} - 11 x + 24}$

Этап 8.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 5 x + 4$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 3, 8$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 5 x + 4$

Этап 10