Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ не определено.

$x = - \frac{1}{2}, x = 2$

Этап 2

Поскольку $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ слева, а $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ справа, то $x = - \frac{1}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Этап 8.1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x^{1}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Этап 8.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Этап 8.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Этап 8.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 (x) - 2}$

Этап 8.1.2.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + (1 - 4) x - 2}$

Этап 8.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2}$

Этап 8.1.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + x - 4 x - 2}$

Этап 8.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x^{2} + x) - 4 x - 2}$

Этап 8.1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)}$

Этап 8.1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Этап 8.2

Развернем $x (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Этап 8.2.2

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Этап 8.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Этап 8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Этап 8.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Этап 8.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Этап 8.3

Развернем $(2 x + 1) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x}{2 x (x - 2) + 1 (x - 2)}$

Этап 8.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}$

Этап 8.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Этап 8.3.4

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Этап 8.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Этап 8.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Этап 8.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Этап 8.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Этап 8.3.9

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Этап 8.3.10

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 2}$

Этап 8.3.11

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x - 2}$

Этап 8.3.12

Добавим $- 4 x$ и $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Этап 8.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 8.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 8.6

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Этап 8.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - x$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Этап 8.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

Этап 8.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Этап 8.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $\frac{3 x^{2}}{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Этап 8.11

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Этап 8.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4} - \frac{3}{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Этап 8.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{17 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Этап 8.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} + \frac{\frac{17 x}{4} + \frac{3}{2}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Этап 8.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{1}{2}, 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 10