Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ не определено.

$x = - 3, x = 3$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ слева, а $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ справа, то $x = - 3$ — вертикальная асимптота.

$x = - 3$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $3$ слева, а $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $3$ справа, то $x = 3$ — вертикальная асимптота.

$x = 3$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 3, 3$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 9}$

Этап 8.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Этап 8.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Этап 8.1.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 9}$

Этап 8.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 8.1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2

Развернем $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.6

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.9

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.13

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.14

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.16

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.17

Вычтем $1 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.18

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.19

Вычтем $1 x$ из $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.2.20

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 8.3

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} - 1}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

Этап 8.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

Этап 8.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Этап 8.3.4

Изменим порядок $x$ и $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Этап 8.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Этап 8.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Этап 8.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} - 1}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Этап 8.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Этап 8.3.9

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

Этап 8.3.10

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 0 - 9}$

Этап 8.3.11

Вычтем $9$ из $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Этап 8.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 8.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 8.6

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Этап 8.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 - 9 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Этап 8.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Этап 8.9

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$1$

Этап 8.10

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + \frac{9 x - 1}{x^{2} - 9}$

Этап 8.11

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3, 3$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x$

Этап 10