Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2 - 1}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 x^{2}}{x^{2 - 1}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x}$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (2 x)}{x^{1}}$

Этап 6.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Этап 6.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Этап 6.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x}{1}$

Этап 6.1.2.5

Разделим $2 x$ на $1$ .

$2 x$

Этап 6.2

Так как при делении многочленов нет полиномиальной части, наклонные асимптоты отсутствуют.

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 8