Основы мат. анализа Примеры

x^{2} - 4 y^{2} = 1

$x^{2} - 4 y^{2} = 1$

Этап 1

Вычтем

x^{2}

$x^{2}$ из обеих частей уравнения.

- 4 y^{2} = 1 - x^{2}

$- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член

- 4 y^{2} = 1 - x^{2}

$- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ на

- 4

$- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член

- 4 y^{2} = 1 - x^{2}

$- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ на

- 4

$- 4$ .

\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель

- 4

$- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Этап 2.2.1.2

Разделим

y^{2}

$y^{2}$ на

1

$1$ .

y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}

$y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}

$y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}

$y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{- x^{2}}{- 4}

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Этап 2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 4

Упростим

\pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}

$\pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{2^{2}}}

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Этап 4.2

Перепишем

\frac{x^{2}}{2^{2}}

$\frac{x^{2}}{2^{2}}$ в виде

{(\frac{x}{2})}^{2}

${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + {(\frac{x}{2})}^{2}}

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ в виде

{(\frac{1}{2})}^{2}

${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

y = \pm \sqrt{- {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2}}

$y = \pm \sqrt{- {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Изменим порядок

- {(\frac{1}{2})}^{2}

$- {(\frac{1}{2})}^{2}$ и

{(\frac{x}{2})}^{2}

${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = \frac{x}{2}

$a = \frac{x}{2}$ и

b = \frac{1}{2}

$b = \frac{1}{2}$ .

y = \pm \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

Этап 4.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

Этап 4.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{2}}

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{2}}$

Этап 4.5.3

Умножим

\frac{x + 1}{2}

$\frac{x + 1}{2}$ на

\frac{x - 1}{2}

$\frac{x - 1}{2}$ .

y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 \cdot 2}}

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.5.4

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}}

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}}$

y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}}

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}}$

Этап 4.6

Перепишем

\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}$ в виде

{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))

${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем полную степень

1^{2}

$1^{2}$ из

(x + 1) (x - 1)

$(x + 1) (x - 1)$ .

y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{4}}

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{4}}$

Этап 4.6.2

Вынесем полную степень

2^{2}

$2^{2}$ из

4

$4$ .

y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}}

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 4.6.3

Перегруппируем дробь

\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}

$\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}$ .

y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))}

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))}$

y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))}

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))}$

Этап 4.7

Вынесем члены из-под знака корня.

y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.8

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

\sqrt{(x + 1) (x - 1)}

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

y = \pm \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

y = \pm \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения

\pm

$\pm$ найдем первое решение.

y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение

\pm

$\pm$ , найдем второе решение.

y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Этап 6

Чтобы привести выражение к виду функции от переменной

x

$x$ , перепишем уравнение, поместив

y

$y$ с одной стороны от знака равенства, а выражение, которое зависит только от

x

$x$ , с другой стороны.

f (x) = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}, - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}

$f (x) = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}, - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$