Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} + 3 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$x^{3} x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x + x^{3} \cdot 3$ .

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot - 6 = 18$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 11 (x) - 6$

Этап 3.1.2

Запишем $- 11$ как $- 2$ плюс $- 9$

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} + (- 2 - 9) x - 6$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 2 x - 9 x - 6$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x^{3} (x + 3) + (- 3 x^{2} - 2 x) - 9 x - 6$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} (x + 3) + x (- 3 x - 2) + 3 (- 3 x - 2)$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 x - 2$ .

$x^{3} (x + 3) + (- 3 x - 2) (x + 3)$

Этап 4

Вынесем множитель $x + 3$ из $x^{3} (x + 3) + (- 3 x - 2) (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $x^{3} (x + 3)$ .

$(x + 3) x^{3} + (- 3 x - 2) (x + 3)$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x + 3$ из $(- 3 x - 2) (x + 3)$ .

$(x + 3) x^{3} + (x + 3) (- 3 x - 2)$

Этап 4.3

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x + 3) x^{3} + (x + 3) (- 3 x - 2)$ .

$(x + 3) (x^{3} - 3 x - 2)$

Этап 5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $x^{3} - 3 x - 2$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разложим $x^{3} - 3 x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 5.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 5.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

Этап 5.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

Этап 5.1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Этап 5.1.1.3.4

Добавим $- 1$ и $3$ .

$2 - 2$

Этап 5.1.1.3.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 5.1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

Этап 5.1.1.5

Разделим $x^{3} - 3 x - 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 5.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

Этап 5.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 5.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 5.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 5.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 5.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 5.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 5.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Этап 5.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 5.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 5.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 5.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 2$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 5.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Этап 5.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 2$

Этап 5.1.1.6

Запишем $x^{3} - 3 x - 2$ в виде набора множителей.

$(x + 3) ((x + 1) (x^{2} - x - 2))$

Этап 5.1.2

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 5.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 3) ((x + 1) ((x - 2) (x + 1)))$

Этап 5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) ((x + 1) (x - 2) (x + 1))$

Этап 5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x + 1) (x - 2) (x + 1)$

Этап 6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$(x + 3) ({(x + 1)}^{1} (x + 1)) (x - 2)$

Этап 6.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$(x + 3) ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}) (x - 2)$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 3) {(x + 1)}^{1 + 1} (x - 2)$

Этап 6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(x + 3) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$