Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 48 x - 128$

Этап 1

Разложим $x^{3} - 48 x - 128$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Этап 1.3

Подставим $- 4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 4$ в многочлен.

${(- 4)}^{3} - 48 \cdot - 4 - 128$

Этап 1.3.2

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$- 64 - 48 \cdot - 4 - 128$

Этап 1.3.3

Умножим $- 48$ на $- 4$ .

$- 64 + 192 - 128$

Этап 1.3.4

Добавим $- 64$ и $192$ .

$128 - 128$

Этап 1.3.5

Вычтем $128$ из $128$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 4$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 48 x - 128}{x + 4}$

Этап 1.5

Разделим $x^{3} - 48 x - 128$ на $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$48 x$

$128$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 32 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$
							-	$32 x$	-	$128$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 32 x - 128$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$
							+	$32 x$	+	$128$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$
							+	$32 x$	+	$128$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x - 32$

Этап 1.6

Запишем $x^{3} - 48 x - 128$ в виде набора множителей.

$(x + 4) (x^{2} - 4 x - 32)$

Этап 2

Разложим $x^{2} - 4 x - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - 4 x - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 32$ , а сумма — $- 4$ .

$- 8, 4$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 4) ((x - 8) (x + 4))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 4) (x - 8) (x + 4)$