Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - x^{3} - 51 x^{2} + 25 x + 25$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Этап 2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} + 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x (x^{2}) + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- x$ из $25 x$ .

$- x (x^{2}) - x (- 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (- 25)$ .

$- x (x^{2} - 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Этап 3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5^{2}) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$- x ((x + 5) (x - 5)) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Этап 5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 25$

Этап 6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 u + 25$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ , а сумма — $b = - 51$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 51$ из $- 51 u$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 (u) + 25$

Этап 7.1.2

Запишем $- 51$ как $- 1$ плюс $- 50$

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} + (- 1 - 50) u + 25$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 1 u - 50 u + 25$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u^{2} - 1 u) - 50 u + 25$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- x (x + 5) (x - 5) + u (2 u - 1) - 25 (2 u - 1)$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u - 1) (u - 25)$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 25)$

Этап 9

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 5^{2})$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) ((x + 5) (x - 5))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

Этап 11

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $- x (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

Этап 11.2

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $(2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$

Этап 11.3

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x + 5) (x - 5) (- x + 2 x^{2} - 1)$

Этап 12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 5) (x - 5) (- u + 2 u^{2} - 1)$

Этап 13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Изменим порядок членов.

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - u - 1)$

Этап 13.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - (u) - 1)$

Этап 13.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

Этап 13.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

Этап 13.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

Этап 13.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 5) (x - 5) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

Этап 13.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 5) (x - 5) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

Этап 13.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$(x + 5) (x - 5) ((2 u + 1) (u - 1))$

Этап 14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 5) (x - 5) ((2 x + 1) (x - 1))$

Этап 14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 5) (x - 5) (2 x + 1) (x - 1)$