Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Этап 2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} - 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x (x^{2}) - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- x$ из $- 25 x$ .

$- x (x^{2}) - x (25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Этап 3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25$

Этап 4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ , а сумма — $b = 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $49$ из $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25$

Этап 5.1.2

Запишем $49$ как $- 1$ плюс $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- x (x^{2} + 25) + (2 u^{2} - 1 u) + 50 u - 25$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1)$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25)$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Этап 7

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1)$

Этап 8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1)$

Этап 9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1)$

Этап 9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1)$

Этап 9.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

Этап 9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

Этап 9.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

Этап 9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

Этап 9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

Этап 9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1))$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1)$